数学分析

实分析

有理数

所有的有理数r都可以表示为两个整数之商:

\[ r = \frac{p}{q} \]

分数都是有尽小数或无尽循环小数

我们知道 分数都可以表示为 \(r = \frac{p}{q}\) 的形式 而每一位在十进制中仅会产生0..9的十个整数结果 故根据Dirichlet鸽笼原理 最多取到第11位时 第11位一定会与前10位中的某个数重复 一旦重复那么就是循环小数

数轴的稠密性

对于固定的正整数p, 我们让q取遍所有整数. 则\(\frac{p}{q}\)把数轴分成了长度为\(\frac{1}{q}\)的区间 而每一个实数x一定位于这些区间中的某个区间 即 \(\forall x \in R, \exists p \in \mathbb{z}, 使得\)

\[ \frac{p}{q} \leq x < \frac{p+1}{q} \]

这等价于

\[ 0 \leq x - \frac{p}{q} < \frac{1}{q} \]

即为

\[ |x - \frac{p}{q}| < \frac{1}{q} < \xi \]

因为\(q > \frac{1}{\xi}\)我们可以把q取得充分大 以至于\(\xi\) 充分小. 这表明了任意实数x都可以用有理数p和q逼近到任意程度,对于任意给定的精度(距离)\(\xi\),总能找到有理数p和q,使\(\frac{p}{q}\)到实数x的距离小于\(\xi\),即为任取一个实数 在充分小的区间存在无穷e多个有理数. 故 有理数集在实数轴是稠密的 注意: 有理数是稠密的 但是有理数不是连续的

无理数

若n不是平方数 则 \( \sqrt[2]{n} \) 不是有理数

证明: 假设若n不是平方数 则 \( \sqrt[2]{n} \) 不是有理数

既然\(\sqrt{n}\)为有理数 则可以用分数表示为\(\frac{p}{q}\) 那么有

\[ n = \frac{p^2}{q^2} \]

这是由假设我们获得的等式 $\( p^2 = q^2 \cdot n \)$

同时 因为n不是平方数 所以\(\sqrt{n}\)一定不是整数

由高斯取整的定义我们得到

\[ [\sqrt{n}]<\frac{p}{q}<[\sqrt{n}] + 1 \]

令m = \([\sqrt{n}]\)

\[ m \cdot q < p < (m + 1) \cdot q \]

\[ 0 < p - m \cdot q < q ① \]

我们知道\( p^2 = q^2 \cdot n\) 那么\(p^2 - p \cdot m \cdot q = n \cdot q^2 - p \cdot m \cdot q\)

那么\(p(p - m \cdot q ) = q ( n \cdot q - p \cdot m)\)

则

\[ \frac{p}{q} = \frac{nq - pm}{p - mq} \]

令\(q_{1} = p - mq\) \(p_{1} = nq - pm\) 由不等式①我们发现\(q_{1} < q\) 则\(p_{1} < p\)

我们重复的进行讨论会有\(q_{2} < q_{1}\),\(p_{2} < p_{1}\) 那么显然地 这种讨论不能无限的进行下去 因为 q > 0 故矛盾