数论

整数

• 良序性质: 每个非空的正整数集合都有一个最小元

整数集公理

整数集 \( \mathbb{z} = \{...,-1,0,1,2,..\} \)

• 封闭性: \( a, b \in \mathbb{z} ,则 a + b \in \mathbb{z} , a \cdot b \in \mathbb{z} \)

• 交换律: \( 对任意a, b \in \mathbb{z}, a + b = b + a, a \cdot b = b \cdot a \)

• 结合律: \( 对任意a, b, c \in \mathbb{z}, (a+b)+c = a+(b+c), (ab)c = a(bc)\)

• 分配率: \( 对任意a, b, c \in \mathbb{z}, (a+b)c = ac +bc \)

• 单位元: \( 对任意a \in \mathbb{z}, a + 0 =a, a \cdot 1 = a\)

• 加法逆元: \(\forall a \in \mathbb{z}, 方程 a + x = 0 有整数解x , 我们称x 为 a的加法逆元, 记作 -a.另外有 b - a 表示 b + (-a)\)

• 消去律: \( 若a ,b, c \in \mathbb{z}, 满足 ac = bc 且 c \neq 0 , 则a = b \)

证明: \( 0 \cdot a = 0\)

\(\because 0是 单位元, 我们有 0+0 = 0 .两边同乘a有 (0+0) \cdot a = 0 \cdot a. \)

\(根据分配率 (0+0) \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a = 0 \cdot a. \)

\(两边同时减去 0 \cdot a 左边有 0 \cdot a + (0 \cdot a - 0 \cdot a) = 0 \cdot a + 0 = 0 \cdot a 右边有 0 \cdot a - 0 \cdot a = 0\)

\( 则 0 \cdot a = 0 \)

整数集次序

\(设 a,b \in \mathbb{z} , 若 b - a 是正整数, 则称 a < b\)

整数集次序基本性质

• 正整数的封闭性: 若 a 和 b是正整数 则a + b 和 \(a \cdot b\) 一定是正整数

• 三分律: 任意整数 a, a >0 , a =0 , a < 0 有且仅有一条成立

整数集良序性

正整数集的任意非空子集中均含有最小元素

最大整数函数(高斯函数)

\( [x] \leq x < [x] + 1 \)

Dirichlet鸽笼原理(抽屉原理)

k+1个或更多物体放入k个盒子 至少有一个盒子会有2个或更多物体

证明: 假设所有盒子的物体都<2 (也就是仅一个), 那么物体总数为k < k+1 即 \(\leq\) k 与 总数\(\geq k+1\) 矛盾. 故至少一个盒子中的物体数 \(\geq\) 2

Diophantus(丢番图逼近)

Diophantus逼近研究的问题类型是: 证明是否一个实数的前k个倍数中的某一个一定更接近某个整数