# 数学分析
## 实分析
### 有理数
`所有`的有理数r都可以表示为两个`整数`之商: 

$$ 
r = \frac{p}{q}
$$ 
### 分数都是有尽小数或无尽循环小数
我们知道 分数都可以表示为 $r = \frac{p}{q}$ 的形式  而每一位在十进制中仅会产生0..9的十个整数结果 故根据Dirichlet鸽笼原理 最多取到第11位时 第11位一定会与前10位中的某个数重复 一旦重复那么就是循环小数
### 数轴的稠密性
对于固定的正整数p, 我们让q取遍所有整数. 则$\frac{p}{q}$把数轴分成了长度为$\frac{1}{q}$的区间 而每一个实数x一定位于这些区间中的某个区间 即
$\forall x \in R, \exists p \in \mathbb{z}, 使得$ 

$$
	\frac{p}{q} \leq x < \frac{p+1}{q}
$$

这等价于

$$
	0 \leq x - \frac{p}{q} < \frac{1}{q}
$$

即为

$$
	|x - \frac{p}{q}| < \frac{1}{q} < \xi
$$

因为$q > \frac{1}{\xi}$我们可以把q取得充分大 以至于$\xi$ 充分小. 这表明了`任意实数x都可以用有理数p和q逼近到任意程度`,对于任意给定的精度(距离)$\xi$,总能找到有理数p和q,使$\frac{p}{q}$到实数x的距离小于$\xi$,即为任取一个实数 在充分小的区间存在无穷e多个有理数. 故 `有理数集在实数轴是稠密的` 注意: 有理数是稠密的 但是有理数不是连续的


### 无理数
#### 若n不是平方数 则 $ \sqrt[2]{n} $ 不是有理数

证明: 假设若n不是平方数 则 $ \sqrt[2]{n} $ 不是有理数

既然$\sqrt{n}$为有理数 则可以用分数表示为$\frac{p}{q}$ 那么有

$$
 n = \frac{p^2}{q^2}
$$

这是由假设我们获得的等式
$$
 p^2 = q^2 \cdot n
$$ 

同时 因为n不是平方数 所以$\sqrt{n}$一定不是整数

由高斯取整的定义我们得到

$$
[\sqrt{n}]<\frac{p}{q}<[\sqrt{n}] + 1
$$

令m = $[\sqrt{n}]$

$$
m \cdot q < p < (m + 1) \cdot q
$$

$$
0 < p - m \cdot q < q   ① 
$$

我们知道$ p^2 = q^2 \cdot n$
那么$p^2 - p \cdot m \cdot q = n \cdot q^2 - p \cdot m \cdot q$

那么$p(p - m \cdot q ) = q ( n \cdot q - p \cdot m)$

则

$$
\frac{p}{q} = \frac{nq - pm}{p - mq}
$$

令$q_{1} = p - mq$   $p_{1} = nq - pm$
由不等式①我们发现$q_{1} < q$ 则$p_{1} < p$

我们重复的进行讨论会有$q_{2} < q_{1}$,$p_{2} < p_{1}$ 那么显然地 这种讨论不能无限的进行下去 因为 q > 0 故矛盾